Question

Помогите решить уравнение.........

Answer 1

Обозначим $x=x_1;,,, sqrt{6-x} =y_1;,,, x_2=2;,,,, sqrt{x+2}=y_2$

За неравенством Коши-Буняковского:
$x sqrt{6-x} +2 sqrt{x+2} leq sqrt{x^2+2^2} cdot sqrt{(6-x)^2+(x+2)^2} = sqrt{8} sqrt{x^2+4}$

В неравенстве Коши-Буняковского имеет место знак равенства, когда $x_1,x_2$ является пропорциональным $y_1,y_2$

$begin{cases} & text{ } x= 2 beta \ & text{ } sqrt{6-x}= beta sqrt{x+2} end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } x=2 beta \ & text{ } 6-x= beta ^2(x+2) end{cases}\ \6-2 beta = beta ^2(2 beta -2)\ beta ^3+ beta ^2+ beta -3=0$
Не трудно подобрать корень $beta =1$ 
$( beta -1)$ делим на $beta ^3+ beta ^2+ beta -3$, получим:

$beta ^2+2 beta +3$

$( beta -1)( beta ^2+2 beta +3)=0\ beta =1$

Уравнение $beta ^2+2 beta +3=0$ действительных корней не имеет.

$x=2 beta =2cdot1 =2$



Ответ: $2.$