Question

Довести, що вираз (x+4)(x^2-4x+16)-(x^2-10)(x-1) набуває додатних значень при всіх дійсних значеннях Х. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при
якому значенні Х?

Answer 1

(x+4)(x²-4x+16)=x³+4³=x³+64;
(x²-10)(x-1)=x³-10x-x²+10.


(x+4)(x²-4x+16)-(x²-10)(x-1)=x³+64-(x³-10x-x²+10)=
=x³+64-x³+10x+x²-10=x²+10x+54 > 0 при любом х, так как
D=10²-4·54 < 0

График квадратного трехчлена у =x²+10x+54 - парабола, ветви которой направлены вверх. Точек пересечения с осью ох нет. Парабола расположена выше оси их.

Выделим полный квадрат
х²+10х+54 = х²+2·х·5+25-25+54 = (х+5)²+29

При х= - 5  квадратный трехчлен принимает наименьшее значение равное 29.