Question

Дмитрий Тихомиров:
(√(1-ctg^2(2πx)))*cos(πx)+sin(πx)=√2

Answer 1

$cos pi xcdot sqrt{1-ctg^22pi x} +sin pi x= sqrt{2} \ \ cos pi xcdot sqrt{1-(ctg^22pi x+1-1)} +sin pi x= sqrt{2} \ \ cos pi xcdot sqrt{2- frac{1}{sin^22pi x} } +sin pi x= sqrt{2} \ \ sqrt{2cos^2pi x- frac{1}{4sin^2pi x} } +sinpi x= sqrt{2} \ \ sqrt{2-2sin^2pi x- frac{1}{4sin^2pi x} } +sinpi x= sqrt{2}$

Сделаем замену.
   Пусть $sin pi x=t$, причем $|t| leq 1$. Тогда

$sqrt{2-2t^2- frac{1}{4t^2} } +t= sqrt{2} \ \ sqrt{ frac{8t^2-8t^4-1}{4t^2} } = sqrt{2} -t$
Возведем обе части в квадрат, получаем:
  $frac{8t^2-8t^4-1}{4t^2} =2+t^2-2t sqrt{2} |cdot 4t^2\ \ 8t^2-8t^4-1=8t^2+4t^4-8 tsqrt{2} \ \ 12t^4-8tsqrt{2} +1=0$

Положим $z=sqrt{2} t$. Тогда
  $3z^4-4z^3+1=0\ 3z^4-3z^3-z^3+z^2-z^2+z-z+1=0\ 3z^3(z-1)-z^2(z-1)-z(z-1)-(z-1)=0\ (z-1)(3z^3-z^2-z-1)=0\ z-1=0;,,,Rightarrow ,,,z=1;\ \ 3z^3-z^2-z-1=0$
Добавим и вычтем некоторые слагаемые
$3z^3-3z^2+2z^2-2z+z-1=0\ 3z^2(z-1)+2z(z-1)+z-1=0\ (z-1)(3z^2+2z+1)=0\z-1=0;,,,,Rightarrow,,,z=1\ \ 3z^2+2z+1=0\D=b^2-4ac=2^2-4cdot3cdot1=4-12=-8 textless 0$
$D textless 0$, уравнение действительных корней не имеет

$z= sqrt{2} t\ t= frac{1}{ sqrt{2} }$

Возвращаемся к замене
  $sin pi x=frac{1}{ sqrt{2} } \ \ pi x=(-1)^kcdotarcsin(frac{1}{ sqrt{2} } )+pi k,k in Z\ \ pi x=(-1)^kcdot frac{pi}{4} +pi k,k in Z,,|:pi\ \ x=(-1)^kcdot frac{1}{4} +k,k in Z$




Ответ: $(-1)^kcdot frac{1}{4} +k,k in Z$