Question

Решите пожалуйста уравнение:
5sin x+cos x=5

Answer 1

$5sinx+cosx=5, |:sqrt{26}\\frac{5}{sqrt{26}}cdot sinx+frac{1}{sqrt{26}}cdot cosx= frac{5}{sqrt{26}} \\Tak; kak; ; ( frac{5}{sqrt{26}} )^2+( frac{1}{sqrt{26}} )^2=1; ,; to; ; frac{5}{sqrt{26}}=sin alpha , frac{1}{sqrt{26}} =cos alpha \\ tg alpha =5; ; to ; ; alpha =arctg5\\sin alpha cdot sinx+cos alpha cdot cosx= frac{5}{sqrt{26}} ; ,; ; alpha =arctg5\\cos(x- alpha )= frac{5}{sqrt{26}} \\x- alpha =pm arccos frac{5}{sqrt{26}} +2pi n; ,; nin Z$

$x= alpha pm arccos frac{5}{sqrt{26}} +2pi n,; nin Z\\x=arctg5pm arccos frac{5}{sqrt{26}} +2pi n; ,; nin Z$

Answer 2

$5sin x+cos x=5$
Очевидно, что  X≠ π + 2πk .

Поэтому можно  воспользоваться формулами 
cos α = (1 – tg²α/2)/(1 + tg²α/2)
sin α = (2 tg α/2)/(1 + tg²α/2)

Тогда исходное уравнение примет вид:

$frac{5*2 tg frac{x}{2} }{1+tg^{2}frac{x}{2} } + frac{1-tg^{2}frac{x}{2} }{1+tg^{2}frac{x}{2} } =5 \ frac{10tg frac{x}{2} +1-tg^{2}frac{x}{2} } {1+tg^{2}frac{x}{2} } =5 \ 10tg frac{x}{2} +1-tg^{2}frac{x}{2} = 5(1+tg^{2}frac{x}{2} ) \ 10tg frac{x}{2} +1-tg^{2}frac{x}{2} = 5 +5tg^{2}frac{x}{2} \ 6tg^{2}frac{x}{2} - 10tg frac{x}{2} + 4 = 0$

Замена  
$tg frac{x}{2} = y \ \ 6 y^{2} - 10y+4=0 \ 3 y^{2} - 5y+2=0 \ D = 25 -24=1 \ y_{1} = frac{5+1}{6} = 1 \ y_{2} = frac{5-1}{6} = frac{2}{3}$

$tg frac{x}{2} = 1 \ frac{x}{2} = frac{ pi }{4} + pi k; \ x= frac{ pi }{2} + 2 pi k\ \ tg frac{x}{2} = frac{2}{3}\ frac{x}{2} = arctg frac{2}{3} + pi k; \ x=2arctg frac{2}{3} + 2pi k$

ОТВЕТ:  $frac{ pi }{2} + 2 pi k; 2arctg frac{2}{3} + 2pi k .$