Question

Решите уравнение: x³ + 5x² + 10x +25 =0

Answer 1

Решаем с помощью Формулы Кардано
 Заменим $x=y- frac{5}{3}$, получаем
$(y- frac{5}{3} )^3+5(y- frac{5}{3} )^2+10(y- frac{5}{3} )+25=0\ y^3-5y^2+ frac{25}{3} y- frac{125}{27} +5y^2- frac{50}{3}y+ frac{125}{9} +10y- frac{50}{3}y+25=0\ y^3+ frac{5}{3}y+ frac{475}{27}=0$
Сделаем подстановку Виета
 $y=t- frac{5}{9t}$, тогда получаем
$t^3- frac{5}{3} t+ frac{25}{27t} - frac{125}{729t^3} + frac{5}{3} t- frac{25}{27t} + frac{475}{27} =0\ \ t^3- frac{125}{729t^3}+frac{475}{27}=0$
$t^6+frac{475}{27}t^3-frac{125}{729}=0$
Пусть $sqrt[3]{a} =t$, тогда
$a^2+frac{475a}{27}-frac{125}{729}=0$
Дальше квадратное уравнение

$D=b^2-4ac=frac{8375}{27}$

$a_1_,_2= dfrac{-frac{475}{27}pmfrac{5 sqrt{335} }{3 sqrt{3} }}{2}$

Возвращаясь к заменам, получим ответ


$x=frac{-10+ sqrt[3]{-1900+60 sqrt{1005} }+ sqrt[3]{-1900-60 sqrt{1005} } }{6}$