Question

Стороны треугольника равны 7 см, 6 см и 5 см.Вычислите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость ,которая создает с плоскостью этого треугольника угол,равный за величиной большему из углов этого треугольника.

Answer 1

Дано
ΔАВС
АВ=5см
ВС=6см
АС=7см
--------
S(орт)-?

Решение
Формула для нахождения площади ортогональной проекции фигуры:
S(орт)=cosα*S(фигуры),
 где α - угол между плоскостями,в одной из которых находится сама фигура, а во второй - ее проекция. По формуле Герона найдём сначала площадь самого треугольника:
S(тр)=$sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где р-полупериметр треугольника, a,b,c-его стороны. Отсюда площадь равна:
S(тр)=√(9*4*3*2)=6√6 cм²
Теперь найдем косинус угла между плоскостями. Как сказано из условия, этот угол равен большему из углов этого треугольника. Известно, что напротив большей стороны лежит больший угол. В нашем случае большая сторона АС=7см, а значит наибольший угол треугольника -  ∠В. Из теоремы косинусов найдем косинус этого угла:
АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*cos∠B ⇔ cos∠B=(АВ²+ВС²-АС²)/2*АВ*СВ=0.2
Т.к. ∠В=∠α(из условия), то площадь проекции этого треугольника равна:
S(орт)=cos∠B*S(тр)=0.2*6√6=(6√6)/5 cм²

Ответ: S(орт)=(6√6)/5 см²