Question

Тригонометрическое уравнение: Help!
sinx+(sinx)^2+(sinx)^3=cosx+(cosx)^2+(cosx)^3

Answer 1

$(sinx - cosx) + (sin^{2}x - cos^{2}x) + (sin^{3}x - cos^{3}x) = 0;$
$(sinx - cosx) + (sinx - cosx)(sinx + cosx)+$
$+ (sinx - cosx)(sin^{2}x + sinxcosx+cos^{2}x) = 0;$
$(sinx-cosx)(1 + sinx + cosx + 1 + sinxcosx) = 0$
Произведение равно нулю, когда какой-то из множителей равен нулю =>
(1) sinx - cosx = 0 или (2) 1 + sinx + cosx + 1 + sinxcosx = 0

Решим уравнение (1):
sinx = cosx | :(cosx ≠ 0)
tgx = 1;
$x = frac{ pi }{4} + pi n;$ n∈Z

Решим уравнение (2):
(1+cosx) + sinx(1 + cosx) = -1;
(1+cosx)(1+sinx) = -1;
То есть или 1 + cosx < 0 или 1 + sinx < 0. Так как sinx ∈[-1;1] и cosx∈[-1;1], то это уравнение не имеет решений.
Значит, решением исходного уравнения является решение уравнения (1).
Ответ: $x = frac{ pi }{4} + pi n;$ n∈Z