Question

Найти длину дуги кривой y=(1/3X^3/2)+1, 0 ≤ X ≤ 1

Answer 1

y=(1/3)x³/²+1      0≤x≤1
L=∫√(1+(y`)²dx
y`=((1/3)x³/²)`=(1/3)*(3/2)*x¹/²=√x/2  ⇒
L=∫₀¹(√(1+(√x/2)²)dx=∫₀¹(√(1+x/4)dx=∫₀¹(√((x+4)/4)dx=(1/2)*∫₀¹√(x+4)dx.
x+4=v   dx=dv  ⇒
(1/4)*∫₀¹(√v)dv=(1/4)*(2/3)v³/² |₀¹=(1/3)*(x+4)³/² |₀¹=(1/3)*(5√5-8)≈1,06
Ответ: ≈1,06 ед.