Question

Вычислить интеграл, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница (подробно)
$intlimits^1_02 x+1/ sqrt{x^2+2x+2} } , dx$

Answer 1

Формулы:
$1) intlimits { frac{du}{ sqrt{u} } } , dx =2 sqrt{u} +C \ \ 2)intlimits { frac{du}{ sqrt{u^2+k} } } , dx =ln|u+sqrt{u^2+k} |+C$

$intlimits { frac{2x+1}{ sqrt{ x^{2} +2x+2} } } , dx = intlimits { frac{2x+2-1}{ sqrt{ x^{2} +2x+2} } } , dx=intlimits {( frac{2x+2}{ sqrt{ x^{2} +2x+2} } } , - frac{1}{ sqrt{ x^{2} +2x+2} } })dx = \ \ intlimits { frac{2x+2}{ sqrt{ x^{2} +2x+2} } } ,dx - intlimits frac{1}{ sqrt{ x^{2} +2x+2} } }, dx .$

$1) intlimits { frac{2x+2}{ sqrt{ x^{2} +2x+2} } } ,dx \ \ sqrt{u} = sqrt{ x^{2} +2x+2} \ du=(x^{2} +2x+2)'=2x+2$
Подходит первая формула:
$intlimits { frac{2x+2}{ sqrt{ x^{2} +2x+2} } } ,dx=2sqrt{ x^{2} +2x+2}+C \ \ \ 2)intlimits frac{1}{ sqrt{ x^{2} +2x+2} } }, dx=intlimits frac{1}{ sqrt{ x^{2} +2x+1+1} } }, dx=intlimits frac{1}{ sqrt{ (x+1)^2+1} } }, dx \ \ u=x+1 \ du=(x+1)'=1$
Подходит вторая формула:
$intlimits frac{1}{ sqrt{ (x+1)^2+1} } }, dx =ln|x+1+sqrt{ (x+1)^2+1}|+C$

$intlimits^1_0 { frac{2x+1}{ sqrt{ x^{2} +2x+2} } } , dx = 2sqrt{ x^{2} +2x+2} -ln|x+1+sqrt{ (x+1)^2+1}| |^1_0 \ \ 2sqrt{ 1^{2} +2*1+2} -ln|1+1+sqrt{ (1+1)^2+1}| - \ \ -( 2sqrt{ 0^{2} +2*0+2} -ln|0+1+sqrt{ (0+1)^2+1}|)= \ \ 2 sqrt{5} -ln|2+ sqrt{5} |-(2 sqrt{2} -ln|1+ sqrt{2} |)= \ \ 2 sqrt{5} -ln(2+ sqrt{5} )-2 sqrt{2}+ln(1+ sqrt{2} )=2( sqrt{5} - sqrt{2} )+ln frac{1+ sqrt{2} }{2+ sqrt{5} }$