Question

В семизначном телефонном номере Незнайки нет нулей. Как-то Незнайка сказал, что если сложить все двузначные числа, получающиеся вычеркиванием пяти цифр из его номера, то получится 2009. Докажите, что Незнайка ошибся.

Answer 1

Пусть номер Незнайки записывается как abcdefg, где a,b,...,g — цифры от 1 до 9, не обязательно различные. Всего существует 7*6/2=21 двузначное число, которое можно получить из этого номера вычеркиванием пяти цифр.

Заметим, что существует ровно 6 чисел, в которых цифра a исходного числа стоит на первом месте — ab, ac, ad, ae, af, ag. Аналогично, существует 5 чисел, в которых цифра b исходного числа стоит на первом месте — bc, bd, be, bf, 4 числа, в которых цифра c стоит на первом месте, и так далее, 1 число ef, в котором цифра e стоит на первом месте. 

Кроме того, существует ровно 6 чисел, в которых цифра g стоит на последнем месте (ag, bg, cg, dg, eg, fg), 5 чисел, в которых цифра f стоит на последнем месте (af, bf, cf, df, ef), и так далее, 1 число ab, в котором цифра b стоит на последнем месте.

Теперь рассмотрим сумму ab+ac+ad+...+ef из 21 двузначного числа, о которых шла речь выше. Эту сумму можно представить в виде (10a+b)+(10a+c)+(10a+d)+...+(10e+f) — если цифра стоит на первом месте, то её нужно умножить на 10. Поскольку мы уже знаем, сколько раз в этой сумме каждая цифра находится на первом и втором месте, мы можем записать сумму следующим образом: (10a+b)+(10a+c)+(10a+d)+...+(10e+f) = 60a+(50+1)b+(40+2)c+(30+3)d+(20+4)e+(10+5)f+6g=60a+51b+42c+33d+24e+15f+6g.

Заметим, что каждое слагаемое делится на 3, значит, и результат должен делиться на 3. Число 2009 на 3 не делится, следовательно, Незнайка ошибся.