Question

|x^2 -2| <4x+3 . Решение и в ответ записать наибольшее целое решение

Answer 1

$|x^2 -2| textless 4x+3$

Неравенство вида $|f(x)| textless g(x)$ сводится к двойному неравенству $-g(x) textless f(x) textless g(x)$

$-(4x+3) textless x^2 -2 textless 4x+3$
$left{begin{array}{l} -(4x+3) textless x^2 -2 \ x^2 -2 textless 4x+3 end{array}$
$left{begin{array}{l} -4x-3 textless x^2 -2 \ x^2 -2 textless 4x+3 end{array}$
$left{begin{array}{l} x^2+4x +3-2 textgreater 0 \ x^2 -4x-2-3 textless 0 end{array}$
$left{begin{array}{l} x^2+4x +1 textgreater 0 \ x^2 -4x-5 textless 0 end{array}$

Решаем первое неравенство:
$x^2+4x +1 textgreater 0 \ x^2+4x +1=0 \ D_1=2^2-1cdot1=3 \ x=-2pm sqrt{3}$
Решением являются интервалы, расположенные левее меньшего и правее большего корня, так как решается неравенство >0, а парабола направлена ветвями вверх:
$x_1in(-infty;-2- sqrt{3} )cup(-2+ sqrt{3} ;+infty)$

Решаем второе неравенство:
$x^2 -4x-5 textless 0 \ x^2 -4x-5=0 \ D_1=(-2)^2-1cdot(-5)=9 \ x= 2pm 3; x_1=-1; x_2=5$
Решением является интервал, расположенный между корнями, так как решается неравенство <0, а парабола направлена ветвями вверх:
$x_2in(-1;5)$

Тогда, получим систему:
$left{begin{array}{l} x_1in(-infty;-2- sqrt{3} )cup(-2+ sqrt{3} ;+infty) \ x_2in(-1;5) end{array}$

Так как решение системы должно удовлетворять обоим условиям, а интервал $(-infty;-2- sqrt{3} )$ не удовлетворяет второму условию, то система упрощается:
$left{begin{array}{l} x_1in(-2+ sqrt{3} ;+infty) \ x_2in(-1;5) end{array}$
Сравним числа $-2+ sqrt{3}$ и -1:
$-2+ sqrt{3} neq -1 \ -1+ sqrt{3} neq 0 \ sqrt{3} -1 neq 0 \ sqrt{3} -1 textgreater 0$
Значит, $-2+ sqrt{3} textgreater -1$ и решение системы, а значит и исходного неравенства, выглядит следующим образом:
$xin (sqrt{3}-2; 5)$

Так как неравенство строгое, то число 5 не входит в решение, а значит наибольшее целое решение неравенства - число 4.

Ответы:
решение неравенства: $( sqrt{3}-2; 5)$
наибольшее целое решение: число 4

Answer 2

Обе части неравенства можно возвести в квадрат при условии, что 4x+3>0.
(|x^2-2|)^2<(4x+3)^2
(x^2-2)^2-(4x+3)^2<0
(x^2-2-4x-3)(x^2-2+4x+3)<0
(x^2-4x-5)(x^2+4x+1)<0
Разложим первые скобки на множители:
x^2-4x-5:
D=(-4)^2-4*(-5)=36
x1,2=(4+-√36)/2=2+-3
x1=-1.
x2=5
x^2-4x-5=(x+1)(x-5)
Разложим вторые скобки на множители:
x^2+4x+1:
D=4^2-4*1=12
x1,2=(-4+-√12)/2=-2+-√3
x^2+4x+1=(x-(-2-√3))(x-(-2+√3))
Получим:
(x+1)(x-5)(x-(-2-√3))(x-(-2+√3))<0
Отсортируем нули левой части неравенства:
-2-√3, -1, √3-2, 5
Изобразим на прямой 0x эти точки и найдем решение:
------- -2-√3 ----- -1 ----------- √3-2 --------------------- 5 --------------->x
  +                 -             +                       -                          +
То есть подходит x∈(-2-√3;-1)∪(√3-2;5)
Теперь учтем наложенное ранее ограничение:
4x+3>0
x>-3/4
Так как -1 < -3/4 и -3/4 < √3-2, то окончательным решением будет x∈(√3-2;5).
Наибольшим целым решением является x=4.