Question

Верно ли, что 2r = a + b - c? (r - радиус вписанной окружности, a,b - катеты, c - гипотенуза)

Answer 1

1) в общем виде радиус окружности, вписанный в произвольный треугольник: r=S/p=2S/P; (1); (р- полупериметр; P- периметр); 2) для прямоугольного треугольника: S=a*b/2 (половина произведения катетов); 2S=ab; 3) подставим в (1): r=ab/P (2); 4) сделаем замену, используя то, что в прямоугольном треугольнике a^2+b^2-c^2=0; 5) ab=a^2+b^2-c^2+ab=a^2+b^2-c^2+ab+ab-ab=a^2+2ab+b^2-c^2-ab; ab+ab=(a+b)^2-c^2=(a+b-c)(a+b+c); ab=(a+b-c)(a+b+c)/2= (a+b-c)*P/2; 6) подставим в (2): r=(a+b-c)*P/2*P=(a+b-c)/2; 2r=a+b-c;