Question

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и основанием b найдите длину вектора, совпадающего с медианой, проведенной к боковой стороне.

Answer 1

Так как вектор совпадает с медианой, то можно воспользоваться готовой формулой длины медианы

$|vec m|=m_a=dfrac 12sqrt{2b^2+2c^2-a^2}=dfrac 12sqrt{2b^2+2a^2-a^2}\\boxed{boldsymbol{m_a=dfrac {sqrt{2b^2+a^2}}2}}$

Либо можно решить задачу, используя теорему косинусов

ΔABC :   b² = a² + a² - 2a·a·cos α

              2a²cos α = 2a² - b²

              $cosalpha =dfrac{2a^2-b^2}{2a^2}$

$Delta ABM:~~m^2=a^2+bigg(dfrac a2bigg)^2-2cdot acdot dfrac a2cdot cos alpha \\~~~~~~~~~~~~~~~m^2=a^2+dfrac {a^2}4-a^2cdot dfrac{2a^2-b^2}{2a^2}\\~~~~~~~~~~~~~~~m^2=a^2+dfrac {a^2}4-dfrac{2a^2-b^2}{2}\\~~~~~~~~~~~~~~~m^2=underline{a^2}+dfrac {a^2}4-underline{a^2}+dfrac{b^2}{2}\\~~~~~~~~~~~~~~~m^2=dfrac {a^2+2b^2}4~~~Rightarrow~~~boxed{boldsymbol{m=dfrac {sqrt{a^2+2b^2}}2}}$