Question

Помогите с уравнением.

(х² - х + 1)⁴ - 6х²(х² - х + 1)² + 5х⁴ = 0

После замены t = x² - x + 1 я пришел к двум уравнениям:
х⁴ - 2х³ + 2х² - 2х + 1 = 0
и
х⁴ - 2х³ - 2х² - 2х + 1 = 0

Первое дает 3 корня: 1, i и -i, а вот второе никак не получается решить (в ответах довольно стремные корни, которые не подобрать).

Может я просто пошел не по тому пути решения?

Большая просьба, если не знаете, как решать, то не надо писать бред в ответах.

PS. комплексные корни тоже желательно указать, ну или хотя бы подать идею, как разложить на множители второе уравнение, а дальше я сам справлюсь.

Answer 1

Это однородное уравнение поэтому проще сразу поделить его на x^4≠0. Получим:
$( frac{x^2-x+1}{x} )^4-6 (frac{x^2-x+1}{x} )^2+5=0 \ ( frac{x^2-x+1}{x}) ^2=t \ t^2-6t+5=0 \ t=1 \ t=5 \ ( frac{x^2-x+1}{x} )=1 \ ( frac{x^2-x+1}{x} )=-1 \ ( frac{x^2-x+1}{x} )= sqrt{5} \ ( frac{x^2-x+1}{x} )=-sqrt{5}$
А теперь решаем каждое из уравнений. В первом случае находим x=1.
Во втором приходим к уравнения x²+1=0 и находим x=i и x=-i
В третьем дискриминант равен 2(√5+1) и корни:
$x= frac{ sqrt{5}+1+ sqrt{ 2(sqrt{5} +1)} }{2} \ x= frac{ sqrt{5}+1- sqrt{2( sqrt{5} +1)} }{2}$. Не знаю есть ли смысл их как то упрощать.
Последний случай: D=2(1-√5). D<0 корни соотвественно будут комплексные.
$x= frac{1- sqrt{5}+i sqrt{2(sqrt{5} -1)} }{2} \ x= frac{1- sqrt{5}-i sqrt{2(sqrt{5} -1)} }{2}$

Answer 2

Спасибо большое! Я проверю позже, но думаю, что всё верно

Answer 3

Да, ответы сходятся. Спасибо еще раз!