Question

Есть формула для радиуса вписанной окружности в произвольный треугольник: r=S/p. После подстановки значения площади по формуле Герона получаем: r={√р(p-a)(p-b)(p-c)}/p. Из этой формулы нужно напрямую вывести формулу: r=(a+b-c)/2 для прямоугольного треугольника. К формуле: r=S/p НЕ ВОЗВРАЩАТЬСЯ.

Answer 1

Дан Δ АВС, ∠С=90°.
с - гипотенуза,
a, b - катеты.

Применяем формулы разности квадратов с учетом теоремы Пифагора
(a+b)²-c²=a²+2ab+b²-c²=(a²+b²-c²)+2ab=0+2ab=ab
c²-(a-b)²=c²-a²+2ab-b²=2ab

r=S/p=

$= sqrt{ frac{ frac{b+c-a}{2} cdot frac{a+c-b}{2} cdot frac{a+b-c}{2} }{ frac{a+b+c}{2} } } = \ \ = sqrt{ frac{ frac{c-(a-b)}{2} cdot frac{c+(a-b)}{2} cdot frac{a+b-c}{2} }{ frac{a+b+c}{2} } } =$

$=sqrt{ frac{ frac{c^2-(a-b)^2}{4} cdot frac{a+b-c}{2}cdot (a+b-c) }{ frac{a+b+c}{2} cdot (a+b-c)} } = sqrt{ frac{ frac{c^2-a^2+2ab+b^2}{4} cdot frac{(a+b-c)^2}{2}}{ frac{(a+b)^2-c^2}{2}} }= frac{ab(a+b-c)}{a^2+2ab+b^2-c^2}=frac{ab(a+b-c)}{2ab}=frac{a+b-c}{2}$


Эту формулу можно получить если заменить S на (ab/2)

r=S/p=(ab)/((a+b+c))=ab(a+b-c)/((a+b+c)(a+b-c))=

=ab(a+b-c)/((a+b)²-c²)=ab(a+b-c)/(a²+b²+2ab-c²)=(a+b-c)/2.

Answer 2

спасибо за решение; я решил немного по другому; можно просто заменить с^2-(а-b)^2 на (a+b)^2-c^2, пользуясь тем, что эти выражения равны, дальше (a+b+c)(a+b-c) дальше все ясно.

Answer 3

Ну и хорошо. Задача очень полезная. Думаю, что пригодится.