Question

найдите наименьшее значение функции на отрезке [1; 3]
$e^{2x} -9e^x-2$

Answer 1

$y=e ^{2x} -9e ^{x} -2 \ y'=2e ^{2x} -9e ^{x}=e^x(2e^x-9)$
Находим нули производной:
eˣ=0    или  2eˣ-9=0

eˣ - не может равняться нулю, так как функция вида у=аˣ всегда больше нуля.
$2e^x-9=0 \ 2e^x=9 \ e^x=4,5 \ x=ln4.5$

теперь воспользуемся методом интервалов
      -                             +
--------------ln4.5----------------------->

Раз функция меняет знак с минуса на плюс, значит x=ln4.5 - точка минимума.
e≈2.7   ⇒ 
дан промежуток [1;3]
убедимся, что ln4.5 принадлежит данному промежутку:
1=lne
3=3*1=3lne=lne³
e³≈2.7³=19.683
lne<ln4.5<lne³   -  зная, что е>1, знак неравенства сохраняется

e<4.5<e³ - равенство выполняется, значит, действительно ln4.5 принадлежит данному промежутку.

$y=e ^{2x} -9e ^{x} -2$
 x=1,    y(1)=e² -9e  -2≈2.7²-9*2.7-2=-19.01
x=3,     y(3)=e⁶-9e³-2≈208

$x=ln4.5, y(ln4.5)=e ^{2ln4.5} -9e ^{ln4.5} -2=(e^{ln4.5} )^{2} -9e ^{ln4.5} -2= \ =4.5^2-9*4.5-2=-22.25 \y(ln4.5) textless y(1) textless y(3) \ \ OTBET: -22.25$

Answer 2

а откуда в производной 2 рядом с e ? 2e^2x-9ex. Я только помню что e^2x остается таким же в производной

Answer 3

это сложная производная вида: (e^u)'=e^(u) * u'. Поэтому (e^(2x))'=e^(2x) * (2x)'=e^(2x) * 2=2e^(2x)