Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $sqrt{2}cosbeta-sinbeta;\ sinbeta-sqrt{3}cosbeta$

Answer 1

Разделим и умножим первое выражение на $sqrt{ (sqrt{2})^2+1 } = sqrt{3}$. Получим:
$sqrt{3} (sqrt{ frac{2}{3} }cos beta - frac{ sqrt{3} }{3} sin beta)$
√(2/3)<1 и (√(3)/3)<1 причем √(2/3)²+(√(3)/3)²=1 значит числа √(3)/3 и √(2/3) - синус и косинус некоего угла α. Поэтому можем записать:
$sqrt{3} (sqrt{ frac{2}{3} }cos beta - frac{ sqrt{3} }{3} sin beta)=sqrt{3} ({cos alpha cos beta - sin alpha sin beta)= sqrt{3} cos( alpha + beta )$
Теперь очевидно, что раз -1≤cos(α+β)≤1, то наименьшее значение нашего выражения -√3, а наибольшее √3.
Точно также решается второй пример. В принципе подобное можно устно решать. Ясно, что такие выражения принимают значения от -√(x²+y²) до √(x²+y²), где x и y коэффициенты перед слагаемыми.