Question

Розв'яжіть рівняння:
|2x+5|=|x|+2

Answer 1

1)x<-2,5
-2x-5=-x+2
-2x+x=2+5
-x=7
x=-7
2)-2,5≤x≤0
2x+5=-x+2
2x+x=2-5
3x=-3
x=-1
3)x>0
2x+5=x+2
2x-x=2-5
x=-3 не удов усл
Ответ х=-7;х=-1

Answer 2

$|2x+5|=|x|+2$

$|2x+5|-|x|=2$

Найдём корни подмодульных выражений:

$x=0$ 

$2x+5=0$

$x=-2.5$

Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка, в каждом из которых выражения 2x+5  и x сохраняют постоянный знак.


                I                     II                    III
2x+5        -                     +                    +     
------------------- - 2.5 ------------- 0 -----------------
x              -                     -                     +
    (- ∞; - 2.5]              (- 2.5; 0]           (0; + ∞)

Рассмотрим решение данного уравнения в каждом их трёх промежутков:

$1)$  $(-$ ∞ $;-2.5]$

$-2x-5+x=2$

$-x=7$

$x=-7$  ∈  $(-$ ∞ $;-2.5]$

$2)$  $(-2.5;0]$

$2x+5+x=2$

$3x=-3$

$x=-1$  ∈ $(-2.5;0]$

$3)$  $(0;+$ ∞ $)$

$2x+5-x=2$

$x=-3$  ∉   $(0;+$ ∞ $)$

Ответ: $-7;$ $-1$