Question

Докажите, что наклонная асимптота графика функции $y= frac{2 x^{2} +7x+4}{2x+3}$ параллельна касательной к графику $y= sqrt{x}$ в точке с абциссой $x_{0} =0,25$
Заранее огромное спасибо!!

Answer 1

наклонной асимптотой и касательной является прямая вида:
у=kх+b, где k-угловой коэффициент прямой.
Геометрический смысл производной:
k=tgα=f '(x₀) 
чтобы прямые были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы соответственные углы были равны, то есть:
α=β ⇒ tgα=tgβ ⇒ k₁=k₂

если функция задаётся дробью в которой в числителе и знаменателе стоят многочлены, то наклонную асимптоту можно найти делением числителя на знаменатель столбиком и то что получится в частном и будет наклонная асимптота (см.фото 1) у=kx+b
y=x+2 ⇒ k₁=1
или в общем виде найти через предел (см. фото 2)

$y= sqrt{x} \ y'= frac{1}{2 sqrt{x_0} } = frac{1}{2 sqrt{0.25} } = frac{1}{2*0.5}=1 \ y'=tg beta =k _2 \ k_2=1$

Итак, k₁=k₂=1, следовательно данные наклонная асимптота и касательная параллельны - ч.т.д