Question

Найти синус большего острого угла прямоугольного треугольника, если радиус окружности , описанной около треугольника, в 2,5 раза больше радиуса вписанной окружности

Answer 1

Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника
$r = frac{a + b - c}{2}$
Радиус описанной окружности
$R = frac{c}{2}$
Из условия 
$frac{R}{r} = 2.5$ или $frac{c}{a+b-c}$

$a+b= frac{c}{2.5} + c$
Возведем в квадрат обе стороны
$a^2 + b^2 + 2ab = frac{49}{25}c^2$
$2ab = 4S = frac{24}{25}c^2$   =>   $S = frac{6}{25}c^2$
Выразим катеты через гипотенузу и углами
$a = csin alpha\ b = csin beta$
Теорема Пифагора
$c^2 = a^2 + b^2 = c^2sin^2 alpha + c^2sin^2 beta$
Получается следующее     $sin^2 alpha + sin^2 beta = 1$
Теперь найдем произведение углов с помощью формулы для нахождения площади
$frac{acsin alpha }{2}$ или  $frac{c^2sin beta sin alpha }{2}$

В начале мы выразили площадь через гипотенузу
$frac{6}{25}c^2 = frac{c^2sin alpha sin beta}{2}$ 
$sin alpha sin beta = frac{12}{25}$

Теперь из выражения  $sin^2 alpha + sin^2 beta = 1$ получаем следующее  
$(sin alpha + sin beta )^2 - 2sin alpha sin beta = 1$ 

Подставляем 
$(sin alpha + sin beta )^2 = frac{49}{25}\ sin alpha + sin beta = 1.4$
Теперь осталось найти углы
$sin alpha = 1.4 - sin beta$
$sin alpha sin beta = 1.4sin beta - sin^2 beta = frac{12}{25} = 0.48$
$sin^2 beta - 1.4sin beta + 0.48 = 0$
$sin beta = 0.6$
$sin alpha = 0.8$
Так в промежутке от 0  до 90 синус возрастает то  $sin alpha = 0.8$
будет наибольшим острым углом в градусах будет приблизительно 53