Точка M равноудалена от всех сторон правильного треугольника ABC, сторона которого равна 4 см. Расстояние от точки M до плоскости ABC равно 2 см.
1)Докажите, что плоскость AMO перпендикулярна плоскости BMC (O-основание перпендикуляра, опущенного из M на плоскость ABC)
2)Найдите угол между плоскостью BMC и плоскостью ABC.
3)Найдите угол между MC и плоскостью ABC.
Ответы
Точка M равноудалена от всех сторон правильного треугольника ABC. Значит, проекции наклонных – расстояний от М до сторон основания, – равны радиусу вписанной в этот треугольник окружности, а все наклонные, соединяющие М и вершины углов основания равны и наклонены к плоскости АВС под одинаковым углом. Их проекции равны радиусу описанной вокруг основания окружности. При этом МО - перпендикулярен плоскости основания и О - центр АВС.
1)
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.
По т. о трех перпендикулярах СВ перпендикулярен АН и МН, значит, СВ ⊥ плоскости АМН (АМО).
Плоскость СМВ проходит через прямую СВ, перпендикулярную плоскости АМК. Следовательно, плоскости СМВ и АМО (АМН) перпендикулярны, ч.т.д.
2)
Угол между плоскостью ВМС и плоскостью АВС - двугранный угол между ними. Его величина равна величине линейного угла МНО, образованного при пересечении этих плоскостей перпендикулярной им плоскостью МНА (её перпендикулярность им доказана выше).
МО=2.
ОН=r вписанной в АВС окружности.
r=a/(2√3)=2/√3
tg ∠MHO=MO/OH=2:(2/√3)=√3- это тангенс 60º⇒
Угол между плоскостью ВМС и плоскостью АВС=60º
3)
Угол между MC и плоскостью ABC также найдем через его тангенс.
tg ∠MCO=MO/OC
MO=2
CО равно радиусу описанной вокруг правильного треугольника окружности:
OC=R =a/√3=4/√3
tg∠MCO=2:(4/√3)=√3/2= ≈0,866. что по таблице тангенсов является тангенсом угла ≈ 40º54'
