Question

Дорожки парка расположены так, как показано на рисунке: угол ACB прямой, дорожка BD делит угол ABC пополам. Точка B – вход в парк, а точка D – ларёк с мороженым. Буратино и Мальвина решили купить мороженое, но пошёл сильный дождь, и дорожку BD размыло (по ней нельзя пройти), а на дорожке BC образовалась огромная лужа. Поэтому Мальвина пошла по сухой дороге через точку A, а Буратино, любящий лужи, побежал по дороге через точку C. На сколько метров путь Буратино короче пути Мальвины, если AD = 1000 м, а DC = 800 м?

Answer 1

Буратино у нас деревянное, поэтому не тонет.

Answer 2

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому можно записать:
BC/AB=DC/AD=800/1000=4/5
Отсюда АВ=ВС*5/4
В тоже время по теореме Пифагора
AC²=AB²-BC²
или
AB²-BC²=1800²
Подставляем вместо АВ:
(BC*5/4)²-BC²=1800²
BC²25/16-BC²=1800²
25*BC²-16*BC²=1800²*16
9*BC²=1800²*16
BC²=1800²*16/9
BC=√(1800²*16/9)
BC=1800*4/3=2400 м
Тогда 
AB=√(AC²+BC²)=√(1800²+2400²)=√9000000=3000 м
Мальвина прошла путь DA+AB=1000+3000=4000 м, а
Буратино - DC+CB=800+2400=3200 м
4000-3200=800 м на столько путь Буратино короче пути Мальвины.