Question

в прямоугольном треугольнике проведены высота и биссектриса прямого угла равны 5 и 7. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

ΔАВС , ∠С=90°  ,  СН⊥АВ  ,  СМ - биссектриса ⇒ ∠АСМ=∠ВСМ=45°
СН=5  ,  СМ=7
   ΔСМН- прямоугольный , ∠СНМ=90°  ⇒  сos∠МCН=CH/CM=5/7
   Обозначим ∠МСН=α  ⇒сosα=5/7
ΔBCH - прямоугольный ,  ∠СНВ=90° , ∠ВСН=45°-∠МСН=45°-α
BC= CH/cos∠BCH =5/cos(45°-α)
cos(45-α)=cos45·cosα+sin45·sinα=√2/2·(cosα+sinα)
BC=5√2/(cosα+sinα)
    ΔАСН - прямоугольный , ∠СНА=90° , ∠АСН=∠АСМ+∠МСН=45°+α
    АС=CH/cos∠ACH=5/cos(45°+α)
    cos(45+α)=cos45·cosα-sin45°·sinα=√2/2·(cosα-sinα)
    AC=5√2/(cosα-sinα)
S(ABC)=1/2·AC·BC

$S_{ABC}=frac{1}{2}cdot frac{5sqrt2}{cos alpha -sin alpha } cdot frac{5sqrt2}{cos alpha +sin alpha } = frac{25cdot 2}{2cdot (cos^2 alpha -sin^2 alpha )} = frac{25}{cos2 alpha }\\cos2 alpha =2cos^2 alpha -1=2cdot (frac{5}{7})^2-1=2cdot frac{25}{49}-1= frac{50-49}{49} =frac{1}{49} \\S_{ABC}= frac{25}{ frac{1}{49}}=25cdot 49= 1225$