Question

Решить неравенство
$frac{1}{sin x^{2} } +ctgx-3 textless 0$

Answer 1

ОДЗ: sinx≠0
         x≠πk, k∈Z

(1/sin²x)+(cosx/sinx)-3<0;
(1+cosxsinx-3sin²x)/sin²x<0
Так как sin²x ≥0 при любом х, то при х≠πk, k∈Z
1+cosxsinx-3sin²x<0
Заменим
1=sin²x+cos²x
sin²x+cos²x+cosxsinx-3sin²x <0
или
cos²x+cosxsinx-2sin²x <0
Делим на sin²x≠0:
сtg²x+ctgx-2<0
Замена переменной:
ctg x=t
t²+ t -2 <0
D=1+8=9
t=(-1-3)/2=-2  или  t=(-1+3)/2=1

___+___(-2)___-___(1)_____+___

-2 <  t <1 

-2 ctgx <1.

Cм. рисунок в приложении.

arcctg (-2)=π-arcctg2.

π-(arctg2)+πn < x< (π/4)+πn, n∈Z   

О т в е т. π-(arctg2)+πn < x < (π/4)+πn, n∈Z.

Answer 2

эм, 1/sin^2x это ctg^2x+1+ctgx<3, отсюда выносим ctgx(ctg+1)<3 разве не так?

Answer 3

потом приводим каждые части ctg<3 ctg<2 разве не так?

Answer 4

ctg²x+1 =1/sin²x ⇒ ctg²x=(1/sin²x)-1; Неравенство примет вид ctg²x+ctgx -2<0

Answer 5

ctgx(ctg+1)<3 неравенства, в которых левая часть разложена на множители, сравнивают только с нулем!