Question

докажите что при любом значении n выполняется равенство 1*4+2*7+3*10+...+n(3n+1)=n(n+1)^2

Answer 1

принцип математической индукции заключается в следующем: утверждение справедливо для ∀ n ∈ N, если:

$1)n=1;,,,1cdot(3cdot1+1)=1cdot(1+1)^2Rightarrow ,,,4=4$

Утверждение выполняется.

2) при n=k 

$1cdot4+2cdot7+3cdot10+...+k(3k+1)=k(k+1)^2$

3) Индукционный переход: n=k+1

$1cdot4+2cdot7+3cdot10+...+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)^2\ k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)^2\ (k+1)(k^2+k+3k+4)=(k+1)(k+2)^2\ (k+1)(k^2+4k+4)=(k+1)(k+2)^2\ (k+1)(k+2)^2=(k+1)(k+2)^2$

Что и требовалось доказать