Question

В центре информационных технологий работает 4 программиста, 5 инженеров и 3 тестировщика. В июле месяце 8 произвольно взятым сотрудникам центра будет предоставлен отпуск. Найдите вероятность того, что в июле месяце в центре останется работать по крайней мере по одному специалисту каждого профиля.

Answer 1

Испытание состоит в том, что из 12-ти специалистов 8 уходят в отпуск.
Число исходов n такого испытания равно
C⁸₁₂.
Так как  С⁸₁₂=С⁴₁₂ по свойству сочетаний, то произвольный выбор 8-ми человек для отпуска равен тому, что произвольно остаются 4 специалиста для работы.
n=С⁸₁₂=С⁴₁₂ =12!/(8!·(12-8)!)=12!/(8!·4!)=9·10·11·12/(1·2·3·4)=9·55=495.
Событие A состоит в том, что из оставшихся четырех специалистов должен быть хотя бы один каждого профиля, или два.
Выбор трех специалистов одного профиля невозможен, так как  исключает выбор кого -то одного из третьего профиля.

Итак, можно выбрать
программисты      2              1              1
инженеры              1    или    2    или    1
тестировшики      1               1              2

Это можно сделать  С²₄·С¹₅·С₃¹+С¹₄·С²₅·С¹₃+С¹₄·С¹₅·С²₃=
=6·5·3+4·10·3+4·5·3=90+120+60=270 способами.
m=270

p(A)=m/n=270/495=6/11