Question

Тонкое резиновое кольцо жесткостью k и массой m, лежащее на горизонтальной поверхности, начинают медленно раскручивать вокруг его оси. При какой угловой скорости длина кольца увеличится вдвое? При какой угловой скорости кольцо обязательно разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до момента разрыва кольца.

Answer 1

Удлинение кольца равно первоначальной длине кольца L₀ = 2*π*R₀
Сила упругости возникшая в кольце равна центростремительной силе
F = k*L₀ = m*v²/R, R = 2*R₀ - радиус вращающегося кольца
k*2*π*R₀ = m*ω²*R²/R = m*ω²*(2*R₀)²/(2*R₀) = 2*m*ω²*R₀
π*k =m*ω² => ω² = π*k/m
ω = √(πk/m)
Нашел, как добавить
σ = E*(L-L₀)/L₀ = E*ΔL/L₀ => ΔL = σ*L₀/E
σ - предел прочности резины
Е - модуль Юнга резины
Удлинение кольца ΔL = σ*2*π*R₀/E
k*ΔL = mv²/R
R = (L₀ + ΔL)/(2*π) = (2*π*R₀ + 2*π*R₀*σ/E)/(2*π) = R₀ + R₀*σ/E = R₀*(1 + σ/E)
k*σ*2*π*R₀/E = m*ω²*R
2*π*k*R₀*σ/E = m*ω²*R₀*(1 + σ/E)
2*π*k*σ/E = m*ω²*(1 + σ/E)
ω² = 2*π*k*σ/(E*m*(1 + σ/E))
ω = √(2*π*k*σ/(E*m*(1 + σ/E)))
ω = √(2*π*k*σ/(m*(E + σ)) - угловая скорость при которой произойдет разрыв шнура