Question

Числа x и y больше 0 но меньше 1. Докажите, что $frac{x}{1+y} + frac{y}{1+x} textless 1$

Answer 1

$frac{x}{1+y}+ frac{y}{1+x} textless 1$
x(1+x)+y(1+y)<(1+x)(1+y)
x+x²+y+y²<1+y+x+xy
x+x²-x+y+y²-y-xy<1
x²+y²-xy<1
x²+y²-xy-xy+xy<1
(x-y)²<1-xy
Так как 
0<x<1  и   0<y<1 , то
произведение ху будет <1, причём при умножении на число меньше 1 исходное число уменьшиться.
квадрат разности (x-y)² также приводит к уменьшению, а возведение в квадрат приводит к ещё большему уменьшению, причём квадрат разности будет меньше чем разность 1-xy.