Question

Прошу решить задание 12 (Верно)

Answer 1

$f'(x)=4a^2x^3+4(a^2-1)x=x(4a^2x^2+4a^2-4) \ f''(x)=12a^2x^2+4a^2-4$
x=0 всегда является нулем первой производной и в ней достигается экстремум при любых a≠±1, то есть тогда когда f''(0)≠0.
При а=±1 функция принимает вид f(x)=x^4+3 и вообще не имеет экстремумов. 
Теперь выясним когда экстремум достигаемый в точке x=0 будет единственным. Два случая:
1. Уравнение 4a²x²+4a²-4=0 не имеет дейст. решений.
2. Уравнение 4a²x²+4a²-4=0 имеет дейст. решения, но экстремум в них не достигается.
Если a=0: уравнение не имеет решений, а значит 0 нам подходит.
Если a≠0:
x²=(4-4a²)/4=1-a²
Не будет решений при 1-a²<0, то есть при a∈(-oo; -1)∪(1; +oo)
2. Подставим √(1-a²) во вторую производную вместо x и найдем a при которых получившееся выражение равно нулю. Мы получим a=±1 нам неподходящие.
Окончательный ответ: a ∈ (-oo; -1) ∪ {0} ∪(1; +oo)