Question

В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник. Боковая грань проходящая через гипотенузу перпендикулярна плоскости основания и является равнобедренным треугольником с боковой стороной 9корней из 3. Каждая из двух других боковых граней составляет с плоскостью основания угол, синус которого равен 4/корень из 17. Найдите объём пирамиды.

Answer 1

АВС- прямоугольный равнобедренный треугольник.
Пусть АС=ВС=х, тогда АВ=х√2.
МАВ- равнобедренный треугольник.
МО- высота, медиана и биссектриса.
АО=ОВ=x√2/2;
ОК⊥ВС
МК⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.
sin∠MKO=4/√17  ⇒  cos∠MKO=1/√17⇒tg∠MKO=4.
МО=ОК·tgMKO=(x/2)·4=2x
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника МВО:
МВ²=МО²+ОВ²;
(9√3)²=(2х)²+(х√2/2)²;
243=9х²/2;
х²=54
х=3√6
V=(1/3)·(AC·BC/2)·MO=(1/6)·(x·x/2)·2x=x³/6=(3√6)³/6=27√6.
О т в е т. V=27√6.