Question

Найдите наименьшее значение выражения x^2 + y^2 + 2x - 4y

Answer 1

f(x,у) =x²+у² +2x-4у
Выделяем полные квадраты:
x²+2x = x²+2x+1  -1 = (x+1)² -1
у²-4у =у² -4у +4  -4 = (у-2)² -4
----------------------------------------------
f(x,у) =(х+1)² +(у-2)² -5
    (x+1)² ≥0  мin(x+1)²=0  ----> x=-1
    (y-2)² ≥ 0  min(y-2)²=0   ----->  у=2
мin f(x,у) достигается при x=-1 и у=2;
        min f(x,y) =  f(-1;2) =- 5
ответ:  -5