Question

Помогите найти D(f) и E(f) функции y=8x/x2+4
D(f) это область определения чисел по оси х, а E(f)- по у. В общем, нужно найти какие числа по х и у брать НЕЛЬЗЯ.

Answer 1

Видимо, имеется в виду $f(x) = frac{8x}{x^2 +4}$. Важно заметить, что по х ты берёшь числа, а вот по у не берёшь, а получаешь. Всё, что может помешать данной функции быть определённой - это знаменатель. На ноль делить нельзя. Таким образом, функция не определена, когда $x^2 + 4 = 0$, но таких вещественных $x$ не бывает, поэтому $D(f) = mathbb{R}$.
Как бы найти $E(f)?$ Например, можно решать эту задачу, используя производные. Я же приведу здесь другое решение.
Будем решать уравнение $a = frac{8x}{x^2+4},$ где x - неизвестная. Таким образом, мы найдём прообраз точки а, если он есть. Если решение есть, то точка $a$ входит в $E(f).$ Преобразуем:
$(x^2+4)a = 8x \ ax^2 -8x+4a.$
При $a=0$ имеем $-8x=0 Rightarrow x =0$ - точка подходит. Иначе
$ax^2 -8x+4a Leftrightarrow x^2 - frac{8}{a}x + 4. \ D = b^2-4ac = frac{64}{a^2} -16.$
Решение есть тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен.
$D ge 0 Leftrightarrow frac{64}{a^2} -16 ge 0 Leftrightarrow 64 ge 16a^2 Rightarrow a^2 le 4 Rightarrow |a| le 2$
Так как ноль нам подошёл, то это и есть ответ:
$E(f) = [-2; 2]$