Question

при каких значениях параметра а область определения функции y=log2(ax2-4x+3a) совпадает с множеством всех действительных чисел?

Answer 1

$y=log_2(ax^2-4x+3a)$
Область определения данной функции - множество значений х, удовлетворяющих неравенству ax² - 4x + 3a > 0.
Выясним, при каких значениях а решением последнего неравенства будет (-∞; +∞).
1) При а = 0 $y=log_2(-4x)$ определена при х<0 ⇒ Этот случай нас "не устраивает".
2) При а<0 и D≥0 парабола у = ax² - 4x + 3a и ось Ох имеют 1 или 2 общие точки ⇒ область определения исходной функции есть объединение промежутков, на которые делят эти общие точки все множество (-∞; +∞) ⇒ Этот случай нас "не устраивает".
3) При а<0 и D<0 парабола у = ax² - 4x + 3a и ось Ох не имеют общих точек, а все точки параболы лежат ниже оси Ох. Поэтому неравенство  ax² - 4x + 3a > 0 решений не имеет ⇒ Этот случай нас "не устраивает".
4) При а>0 и D<0 парабола у = ax² - 4x + 3a и ось Ох не имеют общих точек, а все точки параболы лежат выше оси Ох. Поэтому неравенство  ax² - 4x + 3a > 0 имеет решение - множество  (-∞; +∞) ⇒ Этот случай нас "устраивает".
5) При а>0 и D≥0 парабола у = ax² - 4x + 3a и ось Ох имеют 1 или 2 общие точки ⇒ область определения исходной функции есть объединение промежутков, на которые делят эти общие точки все множество (-∞; +∞) ⇒ Этот случай нас "не устраивает".
Таким образом, нужное нам условие выполнится при а>0 и D<0.
Рассмотрим систему неравенств:
$begin{cases} a textgreater 0 \ 16-12a^2 textless 0 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} a textgreater 0 \ 3a^2-4 textgreater 0 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} a textgreater 0 \ (a- frac{2sqrt3}{3} )(a+frac{2sqrt3}{3}) textgreater 0 end{cases} \ \Leftrightarrow begin{cases} a in(0;+infty) \ a in (-infty;- frac{2sqrt3}{3} ) cup (frac{2sqrt3}{3};+infty) end{cases} Longrightarrow boxed {ain (frac{2sqrt3}{3};+infty)}$

Ответ: при $ain (frac{2sqrt3}{3};+infty)$