Question

Найти все значения А ,для которых неравенство
( а2 -1 ) х2 + 2 (а -1) х + 2 > 0
верно для любого X (- R

Answer 1

(а²-1)х² + 2(а -1)х+2 > 0,   перед нами неравенство не выше второй степени.
нужно рассмотреть 2 случая:
1) Если данное неравенство квадратное (графиком квадратной функции является парабола), значит должно выполнятся два условия, чтобы неравенство было верно для любого х∈R.
-Ветви параболы должны быть направлены вверх ( а²-1>0 )
-парабола должна находится выше оси х (D<0)

$left { {{a ^{2} -1 textgreater 0} atop {D textless 0}} right. left { {{(a-1)(a+1) textgreater 0} atop {(2(a-1)) ^{2} -4*2(a ^{2} -1) textless 0}} right. left { {{(a-1)(a+1) textgreater 0} atop {4(a-1)(a-1-2(a+1)) textless 0}} right. \ left { {{(a-1)(a+1) textgreater 0} atop {4(a-1)(a-1-2a-2) textless 0}} right. left { {{(a-1)(a+1) textgreater 0} atop {4(a-1)(-a-3) textless 0} |:(-4)} right. left { {{(a-1)(a+1) textgreater 0} atop {(a-1)(a+3) textgreater 0}} right. \ \ left { {{x textless -1, x textgreater 1} atop {x textless -3, x textgreater 1}} right.$
x∈(-∞;-3) U (1;+∞)

2 случай) если данное неравенство линейное, то есть а²-1=0, 
(а-1)(а+1)=0
а=1 или а=-1
подставляем 1 в неравенство:
(1²-1)х² + 2(1 -1)х+2 > 0
2>0 - это верное неравенство, которое не зависит от х, значит а=1 входит в ответ.

подставляем -1:
((-1)²-1)х² + 2((-1)-1)х+2 > 0
-4х+2>0
-4x>-2
x<0.5 - это неравенство зависит от х, то есть верно только при некоторых значениях х, значит а=-1, не входит в ответ
ОТВЕТ:x∈(-∞;-3) U [1;+∞)