Question

В шар радиуса 4/∛π вписан конус, угол при вершине осевого сечения которого равен 120 градусов. Найти объём конуса

Answer 1

Рассмотрим диаметральное сечение шара, которое лежит на одной плоскости с рассматриваемым осевым сечением конуса. Угол ABC=120 градусов, по условию. Поставим произвольную точку D по другую сторону от хорды AC. Тогда угол ADC равен 180-120=60 градусов. Отсюда следует, что угол AOC равен 60*2=120 градусов.
Обозначим радиус шара как r, радиус основания конуса как R, высоту конуса как h.
В треугольнике AOC найдем сторону AC, которая является диаметром основания цилиндра L. По т. косинусов, L²=AC²=AO²+OC²-2*AO*OC*cos(∠AOC)=r²+r²-2*r*r*cos(120°)=3r².
Отсюда L=r√3, R=L/2=HC=r√3/2.
OH=√(OC²-HC²)=√(r²-(r√3/2)²)=r/2.
h=BH=BO-OH=r-r/2=r/2
Объем конуса равен V=1/3*Sосн*h.
Sосн=πR²=π(r√3/2)²=πr²*3/4
V=1/3*(πr²*3/4)*r/2=πr³/8=π(4/∛π)³/8=8