Question

вычислите $logsqrt{3}(81/( sqrt{5}+ sqrt{2}) ) +log1/3(1/(7+2 sqrt{10}))$
Объясните поподробнее ход решения, заранее спасибо

Answer 1

Sqrt{3} и 1/3 можно расписать как 3^1/3 и 3^-1 соответственно. Теперь мы сможем воспользоваться свойством сложения логарифмов с одинаковыми основаниями (loga(b)+loga(c)=loga(b*c)). Имеем: logsqrt{3}(81/sqrt{5}+sqrt{2})+log1/3(1/7+2sqrt{10})=log3^1/2(81/sqrt{5}+sqrt{2})+log3^-1(1/7+2sqrt{10}=2log3(...)-1log3(...)=log3(81/sqrt{5}+sqrt{2})^2+log3(1/7+2sqrt{10})^-1 (степень от основания пошла к числу) <=> log3((81/sqrt{5}+sqrt{2})^2 • (1/7+2sqrt{10})-1)=log3(6561*(7+2sqrt{10}/7+2sqrt{10}=log3(6561)=8 (3^8=6561); (sqrt{5}+sqrt{2})^2=5+2*sqrt{2}*sqrt{5}+2=5+2sqrt{10}+2=7+2sqrt{10}. Ответ: 8. При решении использовались основные свойства логарифмов.

Answer 2

Я вроде бы разобрался и всё понял, но вот вопрос, а куда мы знаменатель дели от 81/(sqrt[5]+sqrt[2]), он же должен быть после возведения в степень числа ?

Answer 3

Мы его возвели в квадрат, то есть sqrt{5}+sqrt{2}. Получилось 7+2sqrt{10}, и знаменатель просто сократился с таким же выражением, что у нас было в числителе.

Answer 4

У нас же 1/7+2sqrt{10} был в степени -1, так мы просто перевернули дробь, получилось 7+2sqrt{10}. И это выражение ушло в числитель той дроби. Получили (3^4)^2*(7+2sqrt{10})/7+2sqrt{10}. Эти выражения сократились и осталось просто 3^8=6561.

Answer 5

log3(81/sqrt{5}+sqrt{2})^2+log3(1/7+2sqrt{10})^-1 (loga(b)+loga(c)=loga(b*c)) <=> log3((81/sqrt{5}+sqrt{2})^2*(1/7+2sqrt{10})^-1)=log3(6561(/7+2sqrt{10})*7+2sqrt{10})=log3(6561*(7+2sqrt{10})/7+2sqrt{10}) выражение 7+2sqrt{10} пошло в числитель, и они со знаменателем сократились. Вышло log3(6561)=log3(81^2)=log3((3^4)^2)=log3(3^8)=8log3(3)=8. И ещё раз:
(sqrt{5}+sqrt{2})^2=(sqrt{5})^2+2*sqrt{5}*sqrt{2}+(sqrt{2})^2=5+2sqrt{10}+2=7+2sqrt{10}. (sqrt{5}*sqrt{2}=sqrt{10}).

Answer 6

Да я уже разобрался, Спасибо за подробное разъяснение!)

Answer 7

$log_{sqrt{3}}(frac{81}{sqrt{5}+sqrt{2}})+log_{frac{1}{3}}(frac{1}{7+2sqrt{10}})=\\log_{3^{frac{1}{2}}}(frac{81}{sqrt{5}+sqrt{2}})+log_{3^{-1}}(frac{1}{7+sqrt{10}})=\\log_3(frac{81}{sqrt{5}+sqrt{2}})^2+log_3(frac{1}{7+2sqrt{10}})^{-1}=\\log_3((frac{81}{sqrt{5}+sqrt{2}})^2*(frac{1}{7+2sqrt{10}})^{-1})=\\log_3(frac{81^2}{(sqrt{5}+sqrt{2})^2}*frac{7+2sqrt{10}}{1})=\\log_3(frac{(3^4)^2}{(sqrt{5})^2+2*sqrt{5}*sqrt{2}+(sqrt{2})^2}*frac{7+2sqrt{10}}{1})=$$\\log_3(frac{(3^4)^2}{5+2sqrt{10}+2}*frac{7+2sqrt{10}}{1})=log_3(3^8)=8$