Question

знайти розв'язок рівняння:
1+у^2=xyy'
y(2)=1

Answer 1

$1+y^2=xyy' \ frac{yy'}{1+y^2} =1/x \ frac{y frac{dy}{dx} }{1+y^2} =1/x \ intlimits frac{ydy}{1+y^2} = intlimits frac{dx}{x} \ frac{1}{2} intlimits frac{d(1+y^2)}{1+y^2}=ln|x|+ln|C| \ ln( sqrt{1+y^2} )=ln|Cx| \ frac{sqrt{1+y^2}}{x} =C$
Чтобы найти частное решение подставим x=2, y=1 в найденный интеграл и получим С=√(2)/2. Таким образом частное решение имеет вид:
$frac{sqrt{1+y^2}}{x} =frac{ sqrt{2} }{2}$