Question

Фігура Ф обмежена лініями
x^2-6x-3y+9=0
2x-y-6=0
Знайти площу фігури Ф за допомогою означеного інтеграла

Answer 1

Находим пределы фигуры по оси Х.
Для этого решаем систему:
{x^2-6x-3y+9=0| 1
{2x-y-6=0         | -3

{x^2-6x-3y+9=0
{-6x+3y+18=0    
 
 Получаем квадратное уравнение: x^2-12x+27=0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-12)^2-4*1*27=144-4*27=144-108=36;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x₁=(√36-(-12))/(2*1)=(6-(-12))/2=(6+12)/2=18/2=9;x₂=(-√36-(-12))/(2*1)=(-6-(-12))/2=(-6+12)/2=6/2=3.

Тогда площадь равна:
$S= intlimits^9_3 {((2x-6)-( frac{1}{3}x^2-2x+3)) } , dx = intlimits^9_3(-{ frac{1}{3} x^2+4x-9)} , dx =$
$- frac{x^3}{9}+2x^2-9x|_3^9=-81+162-81-(-3+18-27)=12.$

Answer 2

y=1/3*(x²-6x+9)=1/3*(x-3)²
y=2x-6
Найдем пределы интегрирования 
1/3(х-3)²=2(х-3)
1/3*(х-3)²-2(х-3)=0
(х-3)(1/3*х-1-2)=0
х-3=0⇒х=3
1/3*х-3=0⇒1/3*х=3⇒х=9  
Фигура ограничена сверху прямой,а снизу параболой
Площадь равна интегралу от 3 до 9 от функции (4х-1/3*х ²-9)
S=2x²-x³/9-9x|9-3=162-81-81-18+3+27=12