Question

37) Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу равна 3, а длины катетов относятся как 9 : 2. Найти площадь треугольника. 5,3125

Answer 1

Пусть один катет 2х, второй 9х.
По теореме Пифагора
с²=(2х)²+(9х)²;
с²=4х²+81х²;
с²=85х²
с=х√85
S=ab/2    или    S=ch/2
ab/2=ch/2
(2x·9x)/2=x√85·3/2
x=3√85/18
S=18x²/2=9x²=9·(3√85/18)²=21,25 кв. ед.

Answer 2

Пусть СН - высота прямоугольного Δ АВС, СН=3, ВС:АС=9:2
Пусть t - коэф.пропорциональности, тогда ВС=9t, AC=2t.
В Δ BCH $tg beta = frac{CH}{BH}$, а в Δ АВС $tg beta = frac{CA}{BC}$. Поэтому $frac{3}{BH} = frac{2}{9} = textgreater BH= frac{27}{2}$
В Δ АСН $tg alpha = frac{CH}{AH}$, а в Δ АВС $tg alpha = frac{CB}{AC}$. Поэтому $frac{3}{AH}= frac{9}{2} = textgreater AH= frac{2}{3}$.
Гипотенуза АВ=АН+НВ =$frac{27}{2} + frac{2}{3} = frac{85}{6}$
В Δ АВС по теореме Пифагора АВ²=АС²+ВС².
$(frac{85}{6} )^2=(2t)^2+(9t)^2\ 85t^2=frac{85^2}{36}$
$t^2=frac{ 85}{36}$
S=½AC·BC=½·2t·9t=9t²
$S= 9*frac{85}{36} =frac{85}{4}=21,25$
Ответ: 21,25.