Question

Решите систему уравнений: $left { {{(x+y)(x+y-4)=-4,} atop {(x^2+y^2)xy=-160}} right.$

Answer 1

Если в каждом из уравнений заменить x на y, а y на x система от этого не изменится. Такие системы называют симметричными. Решаются они заменой x+y=t, xy=v. Значит x²+y²=(x+y)²-2xy=t²-2v. Получаем систему:
$left { {{t^2-4t=-4} atop {t^2v-2v^2=-160}} right. \ left { {{(t-2)^2=0} atop {t^2v-2v^2=-160}} right. \ \ left { {{t=2} atop {4v-2v^2=-160}} right. \ 2v^2-4v-160=0 \ v=-8, v=10$
Теперь решаем две элементарные системы:
{x+y=2
{xy=-8 
и 
{x+y=2
{xy=10
Первая система имеет решения: (-2; 4), (4; -2). Вторая система не имеет решений.