Question

Алгоритм решения показательного уравнения с иррациональностью в основании.
$( sqrt{5+ sqrt{24} } )^x + ( sqrt{5- sqrt{24} } )^x = 10$

Answer 1

$star quad sqrt{5+sqrt{24}}cdot sqrt{5-sqrt{24}}=sqrt{25-24}=1; ; Rightarrow \\sqrt{5-sqrt{24}}=frac{1}{sqrt{5+sqrt{24}}}\\a=sqrt{5+sqrt{24}}; ; Rightarrow ; ; sqrt{5-sqrt{24}}=frac{1}{a}; ; star \\\(sqrt{5+sqrt{24}})^{x}+(sqrt{5-sqrt{24}})^{x}=10\\a^{x}+frac{1}{a^{x}}-10=0\\ frac{(a^{x})^2-10cdot a^{x}+1}{a^{x}}=0 ; ,\\ t=a^{x} textgreater 0; ,; ; ; frac{t^2-10t+1}{t}=0 ; to ; t^2-10t+1=0; ,; tne 0\\D/4=25-1=24; \\ t_1=5-sqrt{24}=5-2sqrt{6}>0; ,$

$t_2=5+2sqrt6 textgreater 0$

$1); ; a^{x}=(sqrt{5+sqrt{24}})^{x}=5-2sqrt6; to ; x_1=log_{sqrt{5+sqrt{24}}}(5-2sqrt6) ,$

$x_1=log_{sqrt{5+sqrt{24}}}left ( frac{1}{sqrt{5+sqrt{24}}} right )^2=log_{sqrt{5+sqrt{24}}}(sqrt{5+sqrt{24}})^{-2}=-2$

$2); ; a^{x}=(sqrt{5+sqrt{24}})^{x}=5+2sqrt6; to ; x_2=log_{sqrt{5+sqrt{24}}}(5+2sqrt6)\\x_2=2cdot log_{5+sqrt{24}}(5+sqrt{24})=5cdot 1=2$

$Otvet;; ; x_1=-2,; x_2=2; .$

Answer 2

Спасибо за помощь!

Answer 3

В такого рода примерах важно заметить обратные числа.

Answer 4

Понял, спасмибо.