Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА
Найти площадь, ограниченную линиями
y^2=2x+1, y=x-1

Answer 1

Чертим чертёж. По нему видим, что искомая фигура ограничена параболой симметричной относительно оси ОХ и прямой. Для проведения расчётов преобразуем наши уравнения относительно х:
y²=2x+1  x=(y²-1)/2
y=x-1      x=y+1
По чертежу пределы интегрирования [-1;3]. Их можно найти и аналитически решив уравнение:
(y²-1)/2=y+1
y²-1=2(y+1)
y²-1=2y+2
y²-2y-3=0
D=(-2)²-4*(-3)=4+12=16
y=(2-4)/2=-1    y=(2+4)/2=3
График функции x=y+1 расположен выше графика функции x=(y²-1)/2, поэтому площадь фигуры находится по формуле:
$s= intlimits^3_{-1} {(y+1-(y^2-1)/2)} , dy= intlimits^3_{-1} {(y+1-y^2/2+1/2)} , dy =$
$= intlimits^3_{-1} {(- frac{y^2}{2} +y+ frac{3}{2} )} , dy =(- frac{y^3}{6}+ frac{y^2}{2}+ frac{3y}{2} )|_{-1}^3=$
$=- frac{3^3}{6}+ frac{3^2}{2}+ frac{3*3}{2}-(- frac{(-1)^3}{6}+ frac{(-1)^2}{2}+ frac{3*(-1)}{2})=$
$=- frac{9}{2}+frac{9}{2}+frac{9}{2} -( frac{1}{6}+ frac{1}{2}- frac{3}{2})= frac{9}{2}+ frac{5}{6}= frac{32}{6}=5 frac{1}{3}$ ед².