Question

исследовать функцию с помощью производной и построить график f(x)=x^4-6x^2+4 отрезок от -1 до 1

Answer 1

Дана функция: f(x)=x^4-6x^2+4.

Общая схема исследования и построения графика функции

 1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть.

Область определения функции D(x)( = R.

При определении области значений функции задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции (это будет в пункте 8).

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной.

Проверим функцию чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).

(-x)^4-6*(-x)^2+4 = x^4-6x^2+4.
То есть, f = f(-x). Функция чётная.

3. Выяснить, является ли функция периодической - нет.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:

x^4−6x^2+4=0.
Замена: х^2 = t.
Имеем квадратное уравнение t^2-6t+4=0
Квадратное уравнение, решаем относительно t: 
Ищем дискриминант:D=(-6)^2-4*1*4=36-4*4=36-16=20;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:t_1=(√20-(-6))/(2*1)=(√20+6)/2=√20/2+6/2=√20/2+3 = 
= √5 + 3  ≈ 5.236068;t_2=(-√20-(-6))/(2*1)=(-√20+6)/2=-√20/2+6/2=-√20/2+3 =
= -√5 + 3 ≈ 0.763932.
Тогда получаем 4 корня:
          х_1 = -(-√5 + 3),
          х_2 = √(-√5 + 3),
          х_3 = -√(√5 + 3),
          х_4 = √(√5 + 3).Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=0.874032048898,
x2=−0.874032048898x2,x3=−2.28824561127,
x4=2.28824561127.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 6*x^2 + 4.
0^4−0+4 = 4Результат:
f(0)=4
Точка:
(0, 4)

5. Найти асимптоты графика - их нет.

6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.

f'(x) = 4х³ - 12х = 4х(х² - 3).

Приравниваем производную нулю: 4х(х² - 3) = 0.

Получаем 3 корня (это критические точки):

х = 0, х = √3 и х = -√3.

7. Найти промежутки монотонности функции.

Исследуем знаки производной:

х =                -2  -1.732  -1.5   -0.5    0    0.5      1.5  1.732   2
y'=4х³ - 12х   -8      0       4.5    5.5    0    -5.5    -4.5     0      8.
Где производная положительна - там функция возрастает, где отрицательна - там функция убывает.
Возрастает на промежутках [-sqrt(3), 0] U [sqrt(3), oo).
Убывает на промежутках (-oo, -sqrt(3)] U [0, sqrt(3)]

8. Определить экстремумы функции f(x).

Где производная меняет знак с - на + там минимум функции, где меняет знак с + на - там максимум.

 экстремумы в точках:

(0, 4) максимум,

 (-√ 3, -5) и  (√ 3, -5) минимумы.

9. Вычислить вторую производную f''(x).

Приравниваем нулю вторую производную:

f''(x) = 12х²-12 =12(х² - 1) = 0.

Имеем 2 точки перегиба функции: х = 1 и х = -1.

10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба.

Вогнутая на промежутках (-oo, -1] U [1, oo).
Выпуклая на промежутках [-1, 1]

11. Построить график, используя полученные результаты исследования - в приложении. 

На заданном интервале графика от -1 до 1 будет только выпуклая его часть.