Question

Вычислить площадь фигуры , ограниченной прямой x=0 , графиком функции y=-x^2+3 и касательной к этому графику в точке с абсциссой х_(0=1)

Answer 1

Сначала найдём касательную к графику используя уравнение касательной:
y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)
для этого найдём производную функции f(x)=-x²+3
f'(x)=(-x²+3)'=-2x
и значение производной в точке x₀=1
f'(1)=-2*1=-2.
Значение функции в точке x₀=1
f(1)=-1+3=2
Теперь можно составить уравнение касательной
y=2-2(x-1)=2-2x+2=-2x+4
Начертим рисунок. По рисунку видим, что фигура ограничена сверху прямой y=-2x+4, снизу параболой y=-x²+3, слева прямой х=0 и лежит на интервале [0;1]. Так как функция y=-2x+4 больше функции y=-x²+3 на интервале [0;1], то формула вычисления площади фигуры будет выглядеть следующим образом:
$S= intlimits^1_0 {((-2x+4)-(-x^2+3))} , dx= intlimits^1_1 {(x^2-2x+1)} , dx=$
$=(frac{x^3}{3}-x^2+x )|_0^1= frac{1}{3}-1+1-0= frac{1}{3}$ ед²

Answer 2

спасибо