Question

sin^4+cos^4+sin2x=a. В ответ записать наибольшее значение а, при котором уравнение имеет корни.

Answer 1

$sin^4x+cos^4x+sin2x=a\ (sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x+sin2x=a\ 1- frac{sin^22x}{2} +sin2x=a|cdot2\ 2-sin^22x+2sin2x=2a\ sin^22x-2sin2x+2a-2=0$
Сделаем замену:
 $sin2x=t$ причем $|t| leq 1$ получаем:
$t^2-2t+2a-2=0\ D=b^2-4ac=4-4(2a-2)=12-8a\ t= frac{2pm sqrt{12-8a} }{2a} =1pm sqrt{3-2a}$

Определяем при каком параметра $a$ уравнение имеет решение.

$|t| leq 1$ - значение Синуса.
$-1 leq t leq 1\ -1 leq 1+ sqrt{3-2a} leq 1|-1\ -2 leq sqrt{3-2a} leq 0$
Очевидно, что решением неравенства есть $a=1.5$

$-1 leq 1- sqrt{3-2a} leq 1|-1\-2 leq - sqrt{3-2a} leq 0\ 0 leq 3-2a leq 4 |-3\ -3 leq -2a leq 1|:(-2)\ -0.5 leq a leq 1.5$

При $a in [-0.5;1.5]$ уравнение имеет корни.

$a=1.5$ - наибольшее значение параметра $a$



Ответ: $a=1,5.$

Answer 2

Нужно ли проверять корни этого уравнения на единичном круге?

Answer 3

Окружности*

Answer 4

Я проверял.Всё нормально

Answer 5

sin⁴x+cos⁴x+sin2x=a.
Заметим,что (sin²x+cos²x)²=sin⁴x+cos⁴x+2sin²xcos²x=1,
sin⁴x+cos⁴x=1-0,5sin²2x.
      Тогда имеем: 1-0,5sin²2x+sin2x=a,1 -0,5sin²2x+sin2x-a=0
  0,5sin²2x-sin2x+a-1=0,
Нехай  sin2x=t,тогда получаем:0.5t²-t+a-1=0,
D=1²-4·0,5·(a-1)≥0,1-2a+2=3-2a≥0,-2a≥-3,a≤1,5
Ответ:1.5