Question

Используя метод математической индукции, докажите, что

Answer 1

-----------------------------------------------------------------
(РЕШЕНИЕ)
База индукции
При $n=1$ утверждение верно.  $1 leq 2-frac{1}{1}$

Гипотеза индукции. Пусть утверждение верно при $n=k$
т.е. справедливо неравенство
$1+frac{1}{4}+frac{1}{9}+..+frac{1}{k^2} leq 2 - frac{1}{k}$

Индукционный переход
Докажем что тогда справедливо неравенство при $n=k+1$
т.е. что тогда справедливо неравенство
$1+frac{1}{4}+frac{1}{9}+frac{1}{k^2}+frac{1}{(k+1)^2} leq 2 - frac {1}{k+1}$

или используя предположение нужно доказать что
$2-frac{1}{k}+frac{1}{(k+1)^2} leq 2 - frac{1}{k+1}$
или
$frac{1}{(k+1)^2}+frac{1}{k+1} leq frac{1}{k}$
или
что
$frac{1+k+1}{(k+1)^2 }leq frac{1}{k}$
$frac{k+2}{(k+1)^2} leq frac{1}{k}$
так как обе части неотрицательны, то равносильно
$(k+2)k leq (k+1)^2$
$k^2+2k leq k^2+2k+1$
$0 leq 1$
что очевидно верно
таким образом на основании принципа мат. индукции неравенство доказано.
----------------
(более логичное решение)
неравенство равносильно неравенству
$frac{1}{4}+frac{1}{9}+...+frac{1}{n^2} leq 1 - frac{1}{n}$

заметим что при n є N, $n geq 1$
$frac{1}{n^2} leq frac{1}{n(n-1)}$
поєтому
$frac{1}{4}+frac{1}{9}+...+frac{1}{n^2} leq frac{1}{1*2}+frac{1}{2*3}+...+frac{1}{n(n-1)}=$
$frac{2-1}{1*2}+frac{3-2}{2*3}+...+frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=$
$frac{2}{1*2}-frac{1}{1*2}+frac{3}{2*3}-frac{2}{2*3}+...+frac{n}{n(n-1)}-frac{n-1}{n(n-1)}=$
$1-frac{1}{2}+frac{1}{2}-frac{1}{3}+...+frac{1}{n-1}-frac{1}{n}=1-frac{1}{n}$

т.е. нужно получили требуемое