Предмет: Геометрия,
автор: velgort
Пожалуйста,решите,мне нужно с рисунком. ☺Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. ОКРУЖНОСТЬ с центром O,построенная на боковой стороне AB как на диаметре,касается боковой стороны и второй раз пересекает большее основание AD в точке H,точка Q -середина CD.
1)Докажите,что четырехугольник DQOH-параллелограмм
2)НАЙДИТЕ AD,если угол Bad =60° и BC=2
Ответы
Автор ответа:
0
Введем дополнительные обозначения:
Пусть окружность касается стороны CD в точке К, ОЕ1 и ОЕ2 - высоты трапеции АОQD
a) по условию АВ-диаметр окружности, значит АО=ОВ=R
ABCD - равнобедренная трапеция, следовательно ∠ВАD=∠CDA и AB=CD=2R
Если Q - середина CD, то ОQ - средняя линия трапеции. Следовательно AO=OB=CQ=QD=R
Также АО=ОН=R, то есть ΔАОН-равнобедренный, значит
∠ВАD=∠OHA
При этом ∠ВАD=∠CDA, следовательно ∠OHA=∠CDA, значит эти углы соответственные при параллельных прямых ОН и DQ и секущей АD.
Итак, ОН=QD и ОН || QD, следовательно DQOH-параллелограмм.
б) ∠ВАD=∠OHA=60°
∠АОН=180°-(∠ВАD+∠OHA)=180°-(60°+60°)=60° - ΔАОН - равносторонний, следовательно АН=R
∠ABC=∠BCD=180°-60°=120°
Если окружность касается CD, то ∠OKC=90° и ОК=R
Сумма всех углов в четырехугольнике равна 360°
∠ВОК=360°-(∠ОВС+∠OKC+∠DCK)=360°-(120°+90°+120°)=30°
Если ОQ -средняя линия трапеции, то OQ || AD, следовательно
∠BAD=∠BOQ=60°
∠KOQ=∠BOQ-∠ВОК=60°-30°=30°
ΔOQK -прямоугольный с прямым углом OKQ
![cos30= frac{OK}{OQ} \ frac{ sqrt{3} }{2} = frac{R}{OQ} \ OQ= frac{2R}{ sqrt{3} } cos30= frac{OK}{OQ} \ frac{ sqrt{3} }{2} = frac{R}{OQ} \ OQ= frac{2R}{ sqrt{3} }](https://tex.z-dn.net/?f=cos30%3D+frac%7BOK%7D%7BOQ%7D++%5C++frac%7B+sqrt%7B3%7D+%7D%7B2%7D+%3D+frac%7BR%7D%7BOQ%7D++%5C+OQ%3D+frac%7B2R%7D%7B+sqrt%7B3%7D+%7D+)
OQ=HD- так как DQOH-параллелограмм
![AD=AH+HD=R+ frac{2R}{ sqrt{3} } AD=AH+HD=R+ frac{2R}{ sqrt{3} }](https://tex.z-dn.net/?f=AD%3DAH%2BHD%3DR%2B+frac%7B2R%7D%7B+sqrt%7B3%7D+%7D+)
средняя линия трапеции =(а+в)/2
![OQ=( BC+AD )/2 \ frac{2R}{ sqrt{3} } =(2+R+ frac{2R}{ sqrt{3} }) /2= frac{2 sqrt{3}+R sqrt{3}+2R}{ sqrt{3}} /2 \ frac{2R}{ sqrt{3} }=frac{2 sqrt{3}+R sqrt{3}+2R}{ 2sqrt{3}}|*2 sqrt{3} \ \ 4R=2sqrt{3} +Rsqrt{3} +2R \ 2R-Rsqrt{3} =2sqrt{3} \ R(2-sqrt{3} )=2sqrt{3} \ \ R= frac{2sqrt{3} }{2-sqrt{3} } = frac{2sqrt{3}(2+sqrt{3})}{(2-sqrt{3})(2+sqrt{3})}= frac{4sqrt{3}+2*3}{2 ^{2} -sqrt{3}^{2} } = frac{4sqrt{3}+6}{4-3 }=4sqrt{3}+6 OQ=( BC+AD )/2 \ frac{2R}{ sqrt{3} } =(2+R+ frac{2R}{ sqrt{3} }) /2= frac{2 sqrt{3}+R sqrt{3}+2R}{ sqrt{3}} /2 \ frac{2R}{ sqrt{3} }=frac{2 sqrt{3}+R sqrt{3}+2R}{ 2sqrt{3}}|*2 sqrt{3} \ \ 4R=2sqrt{3} +Rsqrt{3} +2R \ 2R-Rsqrt{3} =2sqrt{3} \ R(2-sqrt{3} )=2sqrt{3} \ \ R= frac{2sqrt{3} }{2-sqrt{3} } = frac{2sqrt{3}(2+sqrt{3})}{(2-sqrt{3})(2+sqrt{3})}= frac{4sqrt{3}+2*3}{2 ^{2} -sqrt{3}^{2} } = frac{4sqrt{3}+6}{4-3 }=4sqrt{3}+6](https://tex.z-dn.net/?f=OQ%3D%28+BC%2BAD+%29%2F2+%5C++frac%7B2R%7D%7B+sqrt%7B3%7D+%7D+%3D%282%2BR%2B+frac%7B2R%7D%7B+sqrt%7B3%7D+%7D%29+%2F2%3D+frac%7B2+sqrt%7B3%7D%2BR+sqrt%7B3%7D%2B2R%7D%7B+sqrt%7B3%7D%7D+%2F2+%5C++frac%7B2R%7D%7B+sqrt%7B3%7D+%7D%3Dfrac%7B2+sqrt%7B3%7D%2BR+sqrt%7B3%7D%2B2R%7D%7B+2sqrt%7B3%7D%7D%7C%2A2+sqrt%7B3%7D++%5C++%5C+4R%3D2sqrt%7B3%7D+%2BRsqrt%7B3%7D+%2B2R+%5C+2R-Rsqrt%7B3%7D+%3D2sqrt%7B3%7D++%5C+R%282-sqrt%7B3%7D+%29%3D2sqrt%7B3%7D+%5C+++%5C+R%3D+frac%7B2sqrt%7B3%7D+%7D%7B2-sqrt%7B3%7D+%7D+%3D+frac%7B2sqrt%7B3%7D%282%2Bsqrt%7B3%7D%29%7D%7B%282-sqrt%7B3%7D%29%282%2Bsqrt%7B3%7D%29%7D%3D+frac%7B4sqrt%7B3%7D%2B2%2A3%7D%7B2+%5E%7B2%7D+-sqrt%7B3%7D%5E%7B2%7D++%7D+%3D+frac%7B4sqrt%7B3%7D%2B6%7D%7B4-3+%7D%3D4sqrt%7B3%7D%2B6)
![AD=AH+HD=R+ frac{2R}{ sqrt{3} } =R+frac{2R sqrt{3} }{sqrt{3}*sqrt{3}} = frac{3R}{3} + frac{2sqrt{3}R}{3} = frac{3R+2sqrt{3}R}{3} = \ frac{3(4sqrt{3}+6)+2 sqrt{3} (4sqrt{3}+6)}{3} = frac{12 sqrt{3}+18+24+12 sqrt{3} }{3} = frac{24 sqrt{3}+42 }{3} =8 sqrt{3} +14 \ OTBET: 8 sqrt{3} +14 AD=AH+HD=R+ frac{2R}{ sqrt{3} } =R+frac{2R sqrt{3} }{sqrt{3}*sqrt{3}} = frac{3R}{3} + frac{2sqrt{3}R}{3} = frac{3R+2sqrt{3}R}{3} = \ frac{3(4sqrt{3}+6)+2 sqrt{3} (4sqrt{3}+6)}{3} = frac{12 sqrt{3}+18+24+12 sqrt{3} }{3} = frac{24 sqrt{3}+42 }{3} =8 sqrt{3} +14 \ OTBET: 8 sqrt{3} +14](https://tex.z-dn.net/?f=AD%3DAH%2BHD%3DR%2B+frac%7B2R%7D%7B+sqrt%7B3%7D+%7D+%3DR%2Bfrac%7B2R+sqrt%7B3%7D+%7D%7Bsqrt%7B3%7D%2Asqrt%7B3%7D%7D+%3D+frac%7B3R%7D%7B3%7D+%2B+frac%7B2sqrt%7B3%7DR%7D%7B3%7D+%3D++frac%7B3R%2B2sqrt%7B3%7DR%7D%7B3%7D+%3D++%5C++frac%7B3%284sqrt%7B3%7D%2B6%29%2B2+sqrt%7B3%7D+%284sqrt%7B3%7D%2B6%29%7D%7B3%7D+%3D+frac%7B12+sqrt%7B3%7D%2B18%2B24%2B12+sqrt%7B3%7D++%7D%7B3%7D+%3D+frac%7B24+sqrt%7B3%7D%2B42+%7D%7B3%7D+%3D8+sqrt%7B3%7D+%2B14+%5C+OTBET%3A+8+sqrt%7B3%7D+%2B14)
Пусть окружность касается стороны CD в точке К, ОЕ1 и ОЕ2 - высоты трапеции АОQD
a) по условию АВ-диаметр окружности, значит АО=ОВ=R
ABCD - равнобедренная трапеция, следовательно ∠ВАD=∠CDA и AB=CD=2R
Если Q - середина CD, то ОQ - средняя линия трапеции. Следовательно AO=OB=CQ=QD=R
Также АО=ОН=R, то есть ΔАОН-равнобедренный, значит
∠ВАD=∠OHA
При этом ∠ВАD=∠CDA, следовательно ∠OHA=∠CDA, значит эти углы соответственные при параллельных прямых ОН и DQ и секущей АD.
Итак, ОН=QD и ОН || QD, следовательно DQOH-параллелограмм.
б) ∠ВАD=∠OHA=60°
∠АОН=180°-(∠ВАD+∠OHA)=180°-(60°+60°)=60° - ΔАОН - равносторонний, следовательно АН=R
∠ABC=∠BCD=180°-60°=120°
Если окружность касается CD, то ∠OKC=90° и ОК=R
Сумма всех углов в четырехугольнике равна 360°
∠ВОК=360°-(∠ОВС+∠OKC+∠DCK)=360°-(120°+90°+120°)=30°
Если ОQ -средняя линия трапеции, то OQ || AD, следовательно
∠BAD=∠BOQ=60°
∠KOQ=∠BOQ-∠ВОК=60°-30°=30°
ΔOQK -прямоугольный с прямым углом OKQ
OQ=HD- так как DQOH-параллелограмм
средняя линия трапеции =(а+в)/2
Приложения:
![](https://files.topotvet.com/i/b98/b9892c5b31e00e8c5fcfd06e38b2302d.png)
Похожие вопросы
Предмет: Математика,
автор: Аноним
Предмет: Математика,
автор: qerionwoienh0w3n5h0
Предмет: Информатика,
автор: darkfire424
Предмет: История,
автор: MeJlbHuK
Предмет: Математика,
автор: allax1002