Question

Помогите решить пожалуйста

Answer 1

Находим для всех чисел аргумент и модуль. Дальше (например, используя экспоненциальную запись)

3)
$left|-2-2iright|=sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=sqrt{8}=(sqrt{2})^3\ arg(-2-2i)=pi+mathop{mathrm{arctg}} dfrac{-2}{-2}=dfrac{5pi}4$
Итак, не забывая, что аргумент определён с точностью до 2π, получаем, что подкоренное выражение равно
$-2-2i=(sqrt2)^3e^{i(5pi/4+2pi n)}$
Тогда корень третьей степени получится следующим:
$sqrt[3]{-2-2i}=sqrt{2}e^{i(5pi/12+12pi n/3)}$
n = 0, 1, 2 дадут три различных корня
$sqrt{2}e^{i5pi/12}=dfrac{sqrt3-1}{2}+idfrac{sqrt3+1}{2}$
$sqrt{2}e^{i13pi/12}=-dfrac{sqrt3+1}{2}-idfrac{sqrt3-1}{2}$
$sqrt{2}e^{i7pi/4}=1-i$
(Корни можно оставить и в экспоненциальной записи)

4) Аналогично,
$4i=4e^{ipi/2+i2pi n}$
$sqrt{4i}=2e^{ipi/4+ipi n}=pm(sqrt2+isqrt2)$

5) Ответ можно получить из уже рассмотренного в пункте 3. В самом деле, поскольку $1-i=overline{1+i}=-frac12cdotoverline{-2-2i}$ (черточка сверху - комплексное сопряжение), то $sqrt[3]{1-i}=sqrt[3]{-1/2}overline{sqrt[3]{-2-2i}}$, где в качестве первого сомножителя можно брать любой из кубических корней из -1/2, например, вещественный.
Тогда
$sqrt[3]{1-i}=-dfrac1{sqrt[3]2}sqrt{2}e^{-i(5pi/12+12pi n/3)}=sqrt[6]{2}exp(-i(pi+5pi/12+12pi n/3))$