Question

Полное исследование функции и ее график
f(x)=x- корень из x

Answer 1

$y=f(x)=x-sqrt{x}. \ 1) xgeq0, \ D_y=[0;+infty); \ 2) y=x-sqrt{x}, \ x-sqrt{x}=y, \ x-2cdotfrac{1}{2}sqrt{x}+frac{1}{4}-frac{1}{4}=y, \ (sqrt{x}-frac{1}{2})^2=y+frac{1}{4}, \ sqrt{x}-frac{1}{2}=sqrt{y+frac{1}{4}}, \ sqrt{x}=sqrt{y+frac{1}{4}}+frac{1}{2}, \ x=(sqrt{y+frac{1}{4}}+frac{1}{2})^2; \ y+frac{1}{4}geq0, \ ygeq-frac{1}{4}, \ E_y=[-frac{1}{4};+infty);$
$3)$функция общего вида (ни четная, ни нечетная), т.к. Dy - не симметрична.
$4) x=0, f(0)=0-0=0, \ y=0, x-sqrt{x}=0, \ sqrt{x}(sqrt{x}-1)=0, \ left [ {{sqrt{x}=0,} atop {sqrt{x}=1;}} right. left [ {{x=0,} atop {x=1;}} right. \ (0;0), (1;0); \ 5) sqrt{x}(sqrt{x}-1)lessgtr0, \ sqrt{x}(sqrt{x}-1)lessgtr0, \ 0 textless x textless 1, y textless 0, \ x textgreater 1, y textgreater 0;$
$6) f'(x)=1+frac{1}{2sqrt{x}}, \ xneq0, \ f'(x)=0, 1+frac{1}{2sqrt{x}}=0, \ 2sqrt{x}+1=0, \ sqrt{x}=-frac{1}{2}, \ x=frac{1}{4}; \ 1+frac{1}{2sqrt{x}}lessgtr0, \ 0 textless x textless frac{1}{4}, f'(x) textless 0, ysearrow, \ x textgreater frac{1}{4}, f'(x) textgreater 0, ynearrow, \ 7) x_{min}=frac{1}{4}, \ y_{min}=f(frac{1}{4})=frac{1}{4}-sqrt{frac{1}{4}}=-frac{1}{4}, \ (frac{1}{4};-frac{1}{4}) - min;$
$8) f''(x)=-frac{1}{4sqrt{x^3}}, \ xneq0, \ -frac{1}{4sqrt{x^3}}lessgtr0, \ xin D_y, f''(x) textless 0, f(x)smallsmile;$
$9) x=0, f(0)=0, \ limlimits_{xto0+0}(x-sqrt{x})=0, \ limlimits_{xto0-0}(x-sqrt{x})invarnothing,$