Question

Решите неравенства:
1)√x+2>=3
2)√7-3x>5
3)√2x+1>-3
4)√3+2x>=√x+1
5)√8-2x<=√6x+15
6)2^x<1/8
7)(0,2)^x<=-0,2
8)(1/3)^x>=9

Answer 1

Так как в условии непонятно, что стоит под корнем, привожу на каждый пример несколько решений с наиболее вероятными условиями
1) a)
$sqrt{x+2} geq 3 \ \ left { {{x+2 geq 0} atop {( sqrt{x+2} )^2 geq 3^2}} right. ; left { {{x geq -2} atop {x+2 geq 9}} right. ; left { {{x geq -2} atop {x geq 7}} right.$
Ответ:   x ∈ [7; +∞)

b) $sqrt{x} +2 geq 3$
$left { {{x geq 0} atop { sqrt{x} +2 geq 3}} right. ; left { {{x geq 0} atop { sqrt{x} geq 1}} right. ; left { {{x geq 0} atop {x geq 1}} right.$
Ответ:   x ∈ [1; +∞)
-----------------------------------------------------------
2) a)
$sqrt{7-3x} textgreater 5 \ left { {{7-3x geq 0} atop {( sqrt{7-3x} )^2 textgreater 5^2}} right. ; left { {{-3x geq -7} atop {7-3x textgreater 25}} right. ; left { {{x leq 7/3 } atop {-3x textgreater 18}} ; left { {{x leq 2 frac{1}{3} } atop {x textless -6 }} right. right.$
x ∈ (-∞; -6)

b) (√7) -3x > 5;   -3x > 5 - √7;  x < (√7 - 5)/3
Ответ:   x ∈ (-∞; $frac{ sqrt{7}-5 }{3}$)
----------------------------------------------------------
3) a)
$sqrt{2x+1} textgreater -3$ 
Арифметический квадратный корень всегда больше отрицательного числа, поэтому нужно проверить только ОДЗ
2x +1 ≥ 0;   2x ≥ -1;   x ≥ -0,5
Ответ:   x ∈ [-0,5; +∞)

b) $sqrt{2x} +1 textgreater -3; sqrt{2x} textgreater -4$
Арифметический квадратный корень больше отрицательного числа. Проверка ОДЗ
2x ≥ 0;   x ≥ 0
Ответ:   x ∈ [0; +∞)
--------------------------------------------------------------
4) a)
$sqrt{3+2x} geq sqrt{x+1}$
Проверка ОДЗ
$left { {{3+2x geq 0} atop {x+1 geq 0}} right. ; left { {{2x geq -3} atop {x geq -1}} right. ; left { {{x geq -1,5} atop {x geq -1}} right.$
ОДЗ: x ≥ -1
$left { {{x geq -1} atop { (sqrt{3+2x} )^2} geq ( sqrt{x+1} )^2} right. ; left { {{x geq -1} atop {3+2x geq x+1}} right. ; left { {{x geq -1} atop {x geq -2}} right.$
Ответ:   x ∈ [-1; +∞)

b)
$sqrt{3+2x} geq sqrt{x} +1 \ ( sqrt{3+2x} )^2 geq ( sqrt{x} +1)^2 \ 3+2x geq x+2 sqrt{x} +1 \ x +2 geq 2 sqrt{x} ;(x+2)^2 geq (2 sqrt{x} )^2;$
x² + 4x + 4 ≥ 4x;    x² + 4 ≥ 0;   
x² ≥ -4   Справедливо для всех х
Проверка ОДЗ
$left { {{3+2x geq 0} atop {x geq 0}} right. ; left { {{2x geq -3} atop {x geq 0}} right. ; left { {{x geq -1,5} atop {x geq 0}} right.$
Ответ:   x ∈ [0; +∞)
-----------------------------------------------------------
5) a)
$sqrt{8-2x} leq sqrt{6x+15}$
Проверка ОДЗ
$left { {{8-2x geq 0} atop {6x+15 geq 0}} right. ; left { {{-2x geq -8} atop {6x geq -15}} right. ; left { {{x leq 4} atop {x geq -2,5}} right.$
ОДЗ:   -2,5 ≤ x ≤ 4
$left { {{-2,5 leq x leq 4} atop {( sqrt{8-2x} )^2} leq ( sqrt{6x+15} )^2} right. ; left { {{-2,5 leq x leq 4} atop {8-2x leq 6x+15}} right. ; left { {{-2,5 leq x leq 4} atop {-8x leq 7}} right. ; left { {{-2,5 leq x leq 4} atop {x geq -0,875 }} right.$
Ответ:   x ∈ [-0,875; 4]

b)
$sqrt{8-2x} leq sqrt{6x} +15$
Проверка ОДЗ
$left { {{8-2x geq 0} atop {6x geq 0}} right. ; left { {{2x leq 8} atop {x geq 0}} right. ; left { {{x leq 4} atop {x geq 0}} right.$
ОДЗ:  0 ≤ x ≤ 4
$left { {{0 leq x leq 4} atop {( sqrt{8-2x} )^2 leq ( sqrt{6x}+15 )^2}} right. ; left { {{0 leq x leq 4} atop { 8-2x leq 6x+30 sqrt{6x} +225 }} right. ; \ \ left { {{0 leq x leq 4} atop { -217-8x leq 30 sqrt{6x} }} right. ; left { {{0 leq x leq 4} atop { 30 sqrt{6x} geq -(217+8x) }} right. ;$
Для неотрицательных х второе неравенство всегда справедливо
Ответ:   x ∈ [0; 4]
----------------------------------------------
6)  $2^x textless frac{1}{8} ;2^x textless 2^{-3}$
2 > 1   ⇒   x < -3
Ответ:   x ∈ (-∞; -3)
----------------------------------------------
7) $0,2^x leq -0,2$  показательная функция не может принимать отрицательные значения  ⇒  неравенство не имеет решений
Ответ:   x ∈ Ф
----------------------------------------------
8)
$( frac{1}{3} )^x geq 9;3^{-x} geq 3^2$
3 > 1   ⇒   -x ≥ 2;    x ≤ -2
Ответ:   x ∈ (-∞; -2]